Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
Докажите, что для любых положительных чисел <i>а</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> справедливо неравенство
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98245/problem_98245_img_2.gif">
Пусть <i>m, n</i> и <i>k</i> – натуральные числа, причём <i>m > n</i>. Какое из двух чисел больше: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_2.gif"> или <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_3.gif"> (В каждом выражении <i>k</i> знаков квадратного корня, <i>m</i> и <i>n</i> чередуются.)
Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ <i>a</i><sub>3</sub> ≥ ... ≥ <i>a</i><sub>2<i>k</i>+1</sub> ≥ 0.
Докажите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97905/problem_97905_img_2.gif">
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.
Набор чисел <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A</i><sub>100</sub> получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
<i>B</i><sub>1</sub> = <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>3</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2</sub> + <i>A</i><sub>3</sub>, ..., <i>B</i><sub>100</sub> = <i>A</i><sub>1</sub> + <i>A</i><sub>2...