Олимпиадные задачи по математике для 2-11 класса - сложность 1-2 с решениями
Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: <i>a, b, c, d</i>.
Докажите, что найдётcя такая точка <i>x</i>, принадлежащая [0, 1], что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98260/problem_98260_img_2.png">
Пусть <i>a, b, c, d</i> – такие вещественные числа, что <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = <i>a + b + c + d</i> = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
На плоскости даны прямая <i>l</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. На прямой <i>l</i> выбраны точка <i>M</i>, сумма расстояний от которой до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая, и точка <i>N</i>, для которой <i>AN = BN</i>. Докажите, что точки <i>A, B, M, N</i> лежат на одной окружности.