Олимпиадные задачи по математике для 3-7 класса - сложность 2-5 с решениями

У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30×70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55×55 см.

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

Положительные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что  <i>a ≤ b ≤ c ≤ d</i>  и  <i>a + b + c + d</i> ≥ 1.  Докажите, что  <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² + 7<i>d</i>² ≥ 1.

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a ≥ b ≥ c</i>  и  <i>a + b + c</i> ≤ 1.  Докажите, что  <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² ≤ 1.