Олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса - сложность 2 с решениями
Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> из вершины прямого угла <i>C</i> опущена высота <i>CH</i>. В треугольники <i>ACH</i> и <i>BCH</i> вписали окружности; <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – их центры; <i>P</i><sub>1</sub> и <i>P</i><sub>2</sub> – их точки касания с <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>O</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>2</sub> пересекаются на <i>AB</i>.
Прямая <i>l</i> перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую <i>l</i> в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.