Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 2-3 с решениями
Oколо четырёхугольника <i>ABCD</i> можно описать окружность. Точка <i>P</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на прямую <i>BC, Q</i> – из <i>A</i> на <i>DC, R</i> – из <i>D</i> на <i>AB</i> и <i>T</i> – из <i>D</i> на <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, R</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.
Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.
Имеются две параллельные прямые <i>p</i><sub>1</sub> и <i>p</i><sub>2</sub>. Точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на <i>p</i><sub>1</sub>, а <i>C</i> – на <i>p</i><sub>2</sub>. Будем перемещать отрезок <i>BC</i> параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники <i>ABC</i>, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD, M</i> – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, <i>O</i> – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, <i>H</i> – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников <i>APD</i> и <i>BPC, APB</i> и <i>CPD</i>. Доказать, что <i>M</i> – середина <i>OH</i>.
Около треугольника <i>ABC</i> описали окружность. <i>A</i><sub>1</sub> – точка пересечения с нею прямой, параллельной <i>BC</i> и проходящей через <i>A</i>. Точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> определяются аналогично. Из точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> опустили перпендикуляры на <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.