Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>, причём точка <i>O</i> не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>AOC</i> лежит на прямой <i>BD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BOD</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>CC</i><sub>1</sub> – его биссектриса, <i>O</i> – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой <i>OC</i><sub>1</sub> с перпендикуляром, опущенным из вершины <i>C</i> на сторону <i>AB</i>, лежит на описанной окружности Ω треугольника <i>AOB</i>. Найдите угол <i>C</i>.
Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.
В куче $n$ камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких $n$ начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?