Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 3 с решениями

Даны <i>N</i> синих и <i>N</i> красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу

  а) для  <i>N</i> = 3;

  б) для произвольного натурального  <i>N</i> > 3.

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?

<img align="right" src="/storage/problem-media/109190/problem_109190_img_2.gif"> В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что

  а)  2(<i>a + c + g + i</i>) = <i>b + d + f + h</i> + 4<i>e</i>.

  б)  2(<i>a</i>³ + <i>c</i>³ + <i>g</i>³ + <i>i</i>³) = <i>b</i>³ + <i>d</i>³ + <i>f</i> ³ + <i>h</i>³ + 4<i>e</i>³.

а) Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что из двух чисел  ^<i>a</i>/<i>_b + ^b</i>/<i>_c + ^c</i>/_<i>a</i>  и  ^<i>b</i>/<i>_a + ^c</i>/<i>_b + ^a</i>/_<i>c</i>  ровно одно – целое? б) Докажите, что если они оба целые, то  <i>a = b = c</i>.

Имеется 15 неразличимых на вид монет. Известно, что одна из них весит $1$ г, две — по $2$ г, три — по $3$ г, четыре — по $4$ г, пять — по $5$ г. На монетах есть соответствующие надписи с указанием масс. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, все ли надписи сделаны верно? (Не требуется определять, какие именно надписи верны, а какие нет.)

Назовём ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали,<i>горизонтальными</i>, а остальные —<i>вертикальными</i>. Требуется поставить коня на одну из клеток доски $46\times46$, после чего чередовать им горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов.

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый  – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

На клетчатой доске 10×10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов во всех клетках оказаться поровну бактерий?

На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)

У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Васи есть чашечные весы – они показывают, какая чашка тяжелее, но не показывают, насколько. За каждое взвешивание Петя платит Васе (до взвешивания) одну монету из имеющихся у него. Если уплачена настоящая монета, Вася сообщит Пете верный результат взвешивания, а если фальшивая, то случайный. Петя хочет определить 5 настоящих монет и не отдать ни одну из этих монет Васе. Может ли Петя гарантированно этого добиться?

Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все медали из одного металла должны весить одинаково, а из разных должны иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела неправильную массу. При этом нестандартная золотая медаль может весить только меньше стандартной золотой, бронзовая – только больше стандартной бронзовой, а серебряная может отличаться по весу от стандартной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти нестандартную медаль?

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса $k$ монет слева от неё равна суммарной массе $k$ монет справа от неё, если а) k=50; б) k=49.

Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, ..., 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме масс двух предыдущих. Вдруг до директора дошёл слух, что один слон похудел. Как ему за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти этого слона или убедиться, что это всего лишь слух? (Ему известно, что ни один слон не потолстел, а похудеть мог максимум один.)

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101×101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где  $n$ > 1,  требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, – в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно?

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.

Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

В клетках квадратной таблицы <i>n</i> × <i>n</i>, где <i>n</i> > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до <i>n</i>² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на <i>n</i>, – в разных строках и в разных столбцах. При каких <i>n</i> это возможно?

В левой нижней клетке доски 100×100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B$, что фишка не менее двух раз делала ход из $A$

в $B$.

В левом нижнем углу клетчатой доски <i>n</i>&times<i>n</i> стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите <i>n</i>.