Олимпиадные задачи по математике для 7 класса - сложность 3-4 с решениями

На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число <i>Q</i> – показатель его умственных способностей (чем больше <i>Q</i>, тем больше способности). За <i>рейтинг</i> страны принимается среднее арифметическое значений <i>Q</i> всех жителей этой страны.

  а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.

  б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?

  в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После э...

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?