Олимпиадные задачи по математике для 1-11 класса - сложность 3 с решениями
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> <i>AB = BC = CD</i> = 1, <i>AD</i> не равно 1. Положение точек <i>B</i> и <i>C</i> фиксировано, точки же <i>A</i> и <i>D</i> подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AD</i>. Новое положение точки <i>A</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>BD</i>, новое положение точки <i>D</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>AC</i> (где <i>A</i> уже новое), затем на втором шагу опять <i>A</i> отражается относительно <i>BD</i> (<i>D</i> уже новое), затем снова преобразуется <i>D</i>...
Числовая последовательность {<i>x<sub>n</sub></i>} такова, что для каждого <i>n</i> > 1 выполняется условие: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = |<i>x<sub>n</sub>| – x</i><sub><i>n</i>–1</sub>.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
Докажите, что
а) если натуральное число <i>n</i> можно представить в виде <i>n</i> = 4<i>k</i> + 1, то существуют <i>n</i> нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
б) если <i>n</i> нельзя представить в таком виде, то таких <i>n</i> нечётных натуральных чисел не существует.