Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Дана бесконечная последовательность многочленов <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ... . Всегда ли существует конечный набор функций <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f</i><sub><i>N</i></sub>(<i>x</i>), композициями которых можно записать любой из них (например, <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>2</sub>(<i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>))))?
В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$<i>хорошей</i>, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 1 больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 3 больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?