Олимпиадная задача Чеботарева о композициях многочленов для 10-11 класса
Задача
Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x) = f2(f1(f2(x))))?
Решение
Пусть, например, f(x) = π + arctg x, g(x) = x + π, h(x) – функция, которая на интервале (– π/2 + πn, π/2 + πn) равна Pn(tg x) (см. рис.). Тогда
Pn(x) = h(g(g(...(g(f(x)))...))) (функция g используется n – 1 раз).
Ответ
Всегда.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет