Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

На окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, выбрана точка <i>K</i>. Оказалось, что прямая <i>CK</i> пересекает отрезок <i>AD</i> в такой точке <i>M</i>, что

<i>AM</i> : <i>MD</i> = 2.  Пусть <i>O</i> – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>OKD</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>COD</i>.

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>– точки пересечения лучей<i> BA </i>и<i> CD </i>,<i> BC </i>и<i> AD </i>соответственно, а<i> H </i>– проекция<i> D </i>на<i> PQ </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> ABCD </i>является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников<i> ADP </i>и<i> CDQ </i>видны из точки<i> H </i>под равными углами.