Олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 3 с решениями
На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника, <i>n</i> > 3. Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что <i>k</i> < <sup>2<i>n</i></sup>/<sub>3</sub>.
б) Приведите пример конфигурации, для которой <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>E</i> и <i>F</i>. Прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины отрезков <i>BC</i> и <i>EF</i> соответственно. Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> и параллельная <i>MN</i>, пересекает <i>BC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>BK</i> : <i>CK = FS</i> : <i>ES</i>.