Олимпиадные задачи по математике для 5-10 класса - сложность 3 с решениями
На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника, <i>n</i> > 3. Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что <i>k</i> < <sup>2<i>n</i></sup>/<sub>3</sub>.
б) Приведите пример конфигурации, для которой <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.
В окружность вписан шестиугольник <i>ABCDEF. K, L, M, N</i> – точки пересечения пар прямых <i>AB</i> и <i>CD, AC</i> и <i>BD, AF</i> и <i>DE, AE</i> и <i>DF</i>.
Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.
На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.
Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...
На плоскости даны <i>n</i> (<i>n</i> > 2) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> касаются друг друга внешним образом в точке <i>P</i>. Из точки <i>A</i> окружности ω<sub>2</sub>, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные <i>AB, AC</i> к ω<sub>1</sub>. Прямые <i>BP, CP</i> вторично пересекают ω<sub>2</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>, касательная к ω<sub>2</sub> в точке <i>A</i>, и общая касательная к окружностям в точке <i>P</i> пересекаются в одной точке.
На прямой лежат точки <i>X, Y, Z</i> (именно в таком порядке). Треугольники <i>XAB, YBC, ZCD</i> – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые <i>AC, BD</i> и <i>XY</i> пересекаются в одной точке.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>C</i><sub>1</sub>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> на лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> таковы, что ∠<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> = ∠<i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> = ∠<i>ACB</i>. Прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что все прямые <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub> п...
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>E</i> и <i>F</i>. Прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины отрезков <i>BC</i> и <i>EF</i> соответственно. Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> и параллельная <i>MN</i>, пересекает <i>BC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>BK</i> : <i>CK = FS</i> : <i>ES</i>.