Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 4-5 с решениями

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски $1000\times n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее $2020$. В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от $n$.

Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что  ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>.  Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i>₁. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.