Олимпиадные задачи по математике для 7-8 класса - сложность 1-3 с решениями
Вписанная и вневписанная окружности треугольника <i>ABC</i> касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>MAN</i>.
Докажите, что <i>BC</i> = 2<i>MN</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 57<°, ∠<i>B</i> = 61°, ∠<i>C</i> = 62°. Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла <i>A</i> или медиана, проведённая из вершины <i>B</i>?
Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих: $a - b, b - a$ или $a + b$. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно $20a - 18b$.
Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.<img src="/storage/problem-media/66681/problem_66681_img_2.png"> Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение <i>a</i>?b обозначает одно из следующих: <i>a</i> – <i>b</i>, <i>b</i> – <i>a</i> или <i>a</i> + <i>b</i>. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные <i>a</i>, <i>b</i> и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20<i>a</i> –...
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек {<i>i, j, k</i>}, где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>100</sub> с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub>A<sub>k</sub></i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.