Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;
б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i><sub>1</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>1</sub> – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i><sub>2</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>2</sub> центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> и <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> перп...
На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.
Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности, треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>AI</i> и <i>BI</i> пересекают биссектрису угла <i>CDB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что прямая <i>MI</i> проходит через середину дуги <i>ACB</i> окружности ω.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i><sub>1</sub> – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i><sub>1</sub><i>DM</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>DN</i&g...
Треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AM = CN</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.