Олимпиадные задачи по математике для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями
<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что <i>AM = NC</i>. На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что <i>CN = BK</i>. Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.
В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;
б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i><sub>1</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>1</sub> – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i><sub>2</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>2</sub> центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> и <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> перп...
На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i><sub>1</sub> – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i><sub>1</sub><i>DM</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>DN</i&g...
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω<sub>1 </sub> и ω<sub>2</sub>. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, что <i>l</i><sub>1</sub> касается ω<sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>2</sub> (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> находятся между <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AM = CN</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.