Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3-5 с решениями
В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, в котором <i>AC < BC; M</i> – середина стороны <i>AB</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая <i>CM</i> пересекает прямые <i>AC'</i> и <i>BC'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Перпендикуляр к прямой <i>AC'</i>, проведённый через точку <i>K</i>, перпендикуляр к прямой <i>BC'</i>, проведённый через точку <i>L</i>, и прямая <i>AB</i> образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.
На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω<sub>1 </sub> и ω<sub>2</sub>. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, что <i>l</i><sub>1</sub> касается ω<sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>2</sub> (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> находятся между <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AM = CN</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.