Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-5 с решениями
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>BC = a</i>, <i>AB = AC = b</i>. На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором
<i>AD = DC = a</i>. Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – ортоцентр. Через середину <i>OH</i> параллельно <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Оказалось, что <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ADE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64987/problem_64987_img_2.gif"> , где <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, <i>S</i> – его площадь.
В треугольнике <i>ABC</i> середины сторон <i>AC, BC</i>, вершина <i>C</i> и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины <i>A, B</i> и ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.
Квадрат <i>ABCD</i> вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на дуге <i>BC</i>, прямая <i>AM</i> пересекает <i>BD</i> в точке <i>P</i>, прямая <i>DM</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>Q</i>.
Докажите, что площадь четырёхугольника <i>APQD</i> равна половине площади квадрата.