Олимпиадные задачи по математике для 1-9 класса - сложность 3 с решениями

На микросхеме $2025$ различных элементов, некоторые пары из которых соединены проводами. Жора хочет раскидать элементы по $n$ платам так, чтобы никакие два элемента одной платы не были соединены проводами. Жора посчитал, что если плат будет всего две, то у него будет $2$ способа, а если плат $2025$ – то $2025~\cdot~2024^{2024}$ способов. Сколько проводов на микросхеме? <i>Все элементы и все платы разные, какие-то из плат могут не содержать элементов. Способы считаются разными, если хотя бы один элемент в способах находится на разных платах.</i>

На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно, что  <i>BB</i>₁ ⊥ <i>CC</i>₁.  Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что

∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i>₁<i>BA</i>,  ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i>₁<i>CA</i>.  Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>XC</i>₁ = 90° – ∠<i>A</i>.

В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд  (<i>n</i> > 1).  В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2<i>n</i> – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65099/problem_65099_img_2.jpg"></div>