Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 60°, <i>H</i> – точка пересечения высот. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>HC</i> второй раз пересекает прямые <i>CA</i> и <i>CB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AN</i> и <i>BM</i> параллельны (или совпадают).
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и прямоугольный треугольник <i>ABD</i> с общей гипотенузой <i>AB</i> (<i>D</i> и <i>C</i> лежат по одну сторону от прямой <i>AB</i>). Пусть <i>DK</i> – биссектриса треугольника <i>ABD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ACK</i> лежит на прямой <i>AD</i>.