Олимпиадные задачи по математике для 6-11 класса - сложность 3 с решениями

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.<img height="250" src="/storage/problem-media/67454/problem_67454_img_2.png">

На описанной окружности треугольника $ABC$ отметили середины дуг $BAC$ и $CBA$ – точки $M$ и $N$ соответственно, и середины дуг $BC$ и $AC$ – точки $P$ и $Q$ соответственно. Окружность $\omega_1$ касается стороны $BC$ в точке $A_1$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$. Окружность $\omega_2$ касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$. Оказалось, что $A_1$ лежит на отрезке $NP$. Докажите, что $B_1$ лежит на отрезке $MQ$.

Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами. На стороне <i>AD</i> выбирается произвольная точка <i>P</i>, отличная от <i>A</i> и <i>D</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP</i> и <i>CDP</i> вторично пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки <i>P</i>.