Олимпиадные задачи по математике для 10 класса
В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
В треугольнике $ABC$ вневписанная окружность, лежащая напротив угла $C$, касается стороны $AB$ в точке $T$. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, лежащей напротив угла $A$, a $M$ – середина $AJ$. Докажите, что $MT=MC$.
Пусть <i>L</i> – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а <i>BH</i> – его высота. Известно, что ∠<i>ALH</i> = 180° – 2∠<i>A</i>.
Докажите, что ∠<i>CLH</i> = 180° – 2∠<i>C</i>.
Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i> постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку <i>K</i>, что ∠<i>KBA</i> = 2∠<i>KAB</i> и ∠<i>KBC</i> = 2∠<i>KCB</i>.