Олимпиадные задачи по математике
В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
В треугольнике $ABC$ вневписанная окружность, лежащая напротив угла $C$, касается стороны $AB$ в точке $T$. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, лежащей напротив угла $A$, a $M$ – середина $AJ$. Докажите, что $MT=MC$.
Пусть <i>L</i> – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а <i>BH</i> – его высота. Известно, что ∠<i>ALH</i> = 180° – 2∠<i>A</i>.
Докажите, что ∠<i>CLH</i> = 180° – 2∠<i>C</i>.
Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i> постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку <i>K</i>, что ∠<i>KBA</i> = 2∠<i>KAB</i> и ∠<i>KBC</i> = 2∠<i>KCB</i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>B</i> = ∠<i>D</i> = 90° и <i>AC = BC + DC</i>. Точка <i>P</i> на луче <i>BD</i> такова, что <i>BP = AD</i>.
Докажите, что прямая <i>CP</i> параллельна биссектрисе угла <i>ABD</i>.
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i>, в которой <i>AB = BD</i>. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>DС</i>. Докажите, что ∠<i>MBC</i> = ∠<i>BCA</i>.