Задача
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
Решение
а) Согласно задаче 130777 число p³ – p = p(p² – 1) делится на 24. Но простое число p ни на 2, ни на 3 не делится. Поэтому p² – 1 делится на 24. б) p² – q² = (p – q)(p + q). p – q и p + q – чётные числа, причём их разность 2q не кратна 4. Значит, одно из этих чисел делится на 4.
2q также не кратно 3, значит, p – q и p + q дают разные остатки при делении на 3. Если бы ни одно из этих чисел не было кратно 3, то сумма
(p – q) + (p + q) = 2p делилась бы на 3. Но это не так.
Поэтому (p – q)(p + q) делится на 2·4·3 = 24.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь