Математическая задача о равнобедренных треугольниках и площадях (8–9 к
Задача
Доказать, что
а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием);
б) из всех треугольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием).
Решение
Решение 1: а) По формуле Герона S2 = p(p – a)(p – b)(p – c). Если p и a фиксированы, то, поскольку сумма (p – b) + (p – c) = a постоянна, то произведение
(p – b)(p – c) максимально, когда p – b = p – c, то есть когда b = c. б) Выводится из а) аналогично доказательству а) в решении 2.
Решение 2: б) Так как сторона AB и площадь S треугольника ABC фиксированы, то фиксирована и длина высоты, опущенной на AB. Поэтому можно считать, что вершина C расположена на фиксированной прямой l, параллельной AB. Но тогда сумма AC + CB наименьшая, когда C – точка пересечения l и прямой AB′, где B′ – точка, симметричная B относительно l (см. решение задачи 155557 или 152489). Это и значит, что треугольник ABC – равнобедренный. а) Пусть S – площадь равнобедренного треугольника T с данными стороной а и периметром P, а S1 – площадь другого треугольника T1 с теми же данными. Согласно б) периметр P2 равнобедренного треугольника T2 cо стороной a и площадью S1 меньше P. Значит, и высота T2, опущенная на сторону a, меньше соответствующей высоты T, то есть S1 < S.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь