Задача
Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.
Решение
Пусть P – периметр треугольника ABC, O и r – центр и радиус вписанной окружности, M и N – точки на сторонах AB и AC, MN – прямая, делящая площадь и периметр в равных отношениях: AM + AN = kP, SAMN = kSABC.
С другой стороны, SAMON = SAMO + SANO = ½ r(AM + AN) = ½ rkP = kSABC. Поэтому SMON = 0, то есть прямая MN проходит через точку O.
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет