Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники»

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 45°,  то <i>B</i>₁<i>C</i>₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.

Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.

Докажите, что <i>OO</i>₁ = <i>OO</i>₂.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прямые <i>AK</i>,<i>BK</i>и <i>CK</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>, пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>треугольника <i>ABC</i>на стороны <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что медиана <i>AM</i>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>на стороны треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>первая окружность Лемуана</i>). б) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>вторая окружность Лемуана</i>).

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой<i>KO</i>, где<i>K</i>— точка Лемуана,<i>O</i>— центр описанной окружности.

Точки<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂лежат на сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника<i>ABC</i>с продолжениями сторон треугольника<i>A'B'C'</i>, полученного из треугольника<i>ABC</i>при гомотетии с центром в точке Лемуана<i>K</i>, то точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>&...

Через точку <i>X</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда <i>X</i> — точка Лемуана.

Докажите, что точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>с прямым углом <i>C</i>является серединой высоты <i>CH</i>.

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекают прямую <i>BC</i>в точках <i>D</i>и <i>E</i>. Окружность с диаметром <i>DE</i>пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>X</i>. Докажите, что <i>AX</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Окружность <i>S</i>₁проходит через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касается прямой <i>AC</i>, окружность <i>S</i>₂проходит через точки <i>A</i>и <i>C</i>и касается прямой <i>AB</i>. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника <i>ABC</i>.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>AP</i>содержит симедиану <i>AS</i>.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если отрезок<i>B</i>₁<i>C</i>₁антипараллелен стороне<i>BC</i>, то<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\bot$<i>OA</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности.

Отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, где точки <i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на лучах <i>AC</i>и <i>AB</i>, называют<i>антипараллельным</i>стороне <i>BC</i>, если $\angle$<i>AB</i>₁<i>C</i>₁=$\angle$<i>ABC</i>и $\angle$<i>AC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>ACB</i>. Докажите, что симедиана <i>AS</i>делит пополам любой отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, антипараллельный стороне <i>BC&lt...

Выразите длину симедианы <i>AS</i>через длины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Прямые <i>AM</i>и <i>AN</i>симметричны относительно биссектрисы угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>(точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на прямой <i>BC</i>). Докажите, что <i>BM</i>^.<i>BN</i>/(<i>CM</i>^.<i>CN</i>) =<i>c</i>²/<i>b</i>². В частности, если <i>AS</i> — симедиана, то <i>BS</i>/<i>CS</i>=<i>c</i>²/<i>b</i>².