Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» - сложность 1 с решениями
глава 5. Треугольники
НазадОкружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, причем <i>AC</i><sub>1</sub>=<i>AB</i><sub>1</sub>,<i>BA</i><sub>1</sub>=<i>BC</i><sub>1</sub>и <i>CA</i><sub>1</sub>=<i>CB</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub> — точки касания вписанной окружности со сторонами.
На высоте <i>AH</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что <i>AB</i>² – <i>AC</i>² = <i>MB</i>² – <i>MC</i>².
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если у него:
а) медиана <i>BD</i> является высотой;
б) высота <i>BD</i> является биссектрисой.