Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 45°,  то <i>B</i>₁<i>C</i>₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.

Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.

Докажите, что <i>OO</i>₁ = <i>OO</i>₂.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если отрезок<i>B</i>₁<i>C</i>₁антипараллелен стороне<i>BC</i>, то<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\bot$<i>OA</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности.

Отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, где точки <i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на лучах <i>AC</i>и <i>AB</i>, называют<i>антипараллельным</i>стороне <i>BC</i>, если $\angle$<i>AB</i>₁<i>C</i>₁=$\angle$<i>ABC</i>и $\angle$<i>AC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>ACB</i>. Докажите, что симедиана <i>AS</i>делит пополам любой отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, антипараллельный стороне <i>BC&lt...

Выразите длину симедианы <i>AS</i>через длины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Прямые <i>AM</i>и <i>AN</i>симметричны относительно биссектрисы угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>(точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на прямой <i>BC</i>). Докажите, что <i>BM</i>^.<i>BN</i>/(<i>CM</i>^.<i>CN</i>) =<i>c</i>²/<i>b</i>². В частности, если <i>AS</i> — симедиана, то <i>BS</i>/<i>CS</i>=<i>c</i>²/<i>b</i>².

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>P</i>на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁называют<i>подерным</i>(или<i>педальным</i>) треугольником точки<i>P</i>относительно треугольника<i>ABC</i>. Пусть <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ — подерный треугольник точки <i>P</i>относительно треугольника <...

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершины <i>C</i> к ней проведена касательная (отличная от <i>CA</i>), и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>B</i> вписана окружность <i>S</i>₂. Из вершины <i>A</i> к <i>S</i>₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>C</i> вписана окружность <i>S</i>₃

и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>; окружность <i>S</i>₂ вписана в угол <i>B</i> и касается <i>S</i>₁ (внешним образом); окружность <i>S</i>₃ вписана в угол <i>C</i> и касается <i>S</i>₂; окружность <i>S</i>₄ вписана в угол <i>A</i> и касается <i>S</i>₃ и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

Окружность радиуса <i>u_a</i> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>, окружность радиуса <i>u_b</i> вписана в угол <i>B</i>; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_2.gif">   равен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_3.gif">  где <i>p</i> – полупериметр треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах правильного треугольника <i>ABC</i> как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  <i>A</i>₁<i>BC, AB</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i>₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые <i>BC</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i> пересекаются в точке <i>A</i>₂, <i>AC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>C</i> – в точке <i>B</i>₂, <i>AB</i>₁ и <i>A</i><sub>1<...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что  <i>AB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>C = cⁿ</i> : <i>aⁿ,  BC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>A = aⁿ</i> : <i>bⁿ</i>  и  <i>CA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>B = bⁿ</i> : <i>cⁿ</i>  (<i>a, b, c</i> – длины стор...

В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> (или на их продолжениях) взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что  ∠(<i>CC</i>₁, <i>AB</i>) = ∠(<i>AA</i>₁, <i>BC</i>) = ∠(<i>BB</i>₁, <i>CA</i>) = α.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>AA</i>₁...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты с центрами <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>₁, <i>b</i>₁ и <i>c</i>₁ – длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>S</i> и <i>S</i>₁ – площади треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите,...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты <i>ABC</i>₁<i>D</i>₁ и <i>A</i>₂<i>BCD</i>₂.

Докажите, что точка пересечения прямых <i>AD</i>₂ и <i>CD</i>₁ лежит на высоте <i>BH</i>.