Задачи и олимпиады по математике

Задачи Подборки Авторы

Задача 157003 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Задача

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если ∠A = 45°, то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

Решение

Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен значит, диаметр окружности девяти точек равен Треугольник AC₁B₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом cos 45° (см. задачу 152357), значит, Поскольку точки B₁ и C₁ лежат на окружности девяти точек, то B₁C₁ – диаметр.