Задача
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен 2 cos α.
Решение
а) Докажем сначала, что точка B' лежит на описанной окружности треугольника AHC, где H – ортоцентр треугольника ABC.
∠(AB', B'C) = ∠(AA1, CC1) = ∠(AA1, BC) + ∠(BC, AB) + ∠(AB, CC1) = ∠(BC, AB). Но, как следует из решения задачи 156839, ∠(BC, AB) = ∠(AH, HC), поэтому точки A, B', H и C лежат на одной окружности, причём эта окружность симметрична описанной окружности треугольника ABC относительно прямой AC. Следовательно, обе эти окружности имеют радиус R, а значит, B'H = 2R sin∠B'AH = 2R cos α. Аналогично, A'H = 2R cos α = C'H. б) Треугольники A'B'C' и ABC подобны, так как после поворота треугольника A'B'C' на угол α его стороны будут параллельны сторонам треугольника ABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь