Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» - сложность 3-5 с решениями

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Прямые <i>AK</i>,<i>BK</i>и <i>CK</i>, где <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>, пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>K</i> — точка Лемуана треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>треугольника <i>ABC</i>на стороны <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что медиана <i>AM</i>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — проекции точки Лемуана <i>K</i>на стороны треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>K</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>первая окружность Лемуана</i>). б) Через точку Лемуана<i>K</i>проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (<i>вторая окружность Лемуана</i>).

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой<i>KO</i>, где<i>K</i>— точка Лемуана,<i>O</i>— центр описанной окружности.

Точки<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂лежат на сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника<i>ABC</i>с продолжениями сторон треугольника<i>A'B'C'</i>, полученного из треугольника<i>ABC</i>при гомотетии с центром в точке Лемуана<i>K</i>, то точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>&...

Через точку <i>X</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда <i>X</i> — точка Лемуана.

Докажите, что точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>с прямым углом <i>C</i>является серединой высоты <i>CH</i>.

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекают прямую <i>BC</i>в точках <i>D</i>и <i>E</i>. Окружность с диаметром <i>DE</i>пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>X</i>. Докажите, что <i>AX</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Окружность <i>S</i>₁проходит через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касается прямой <i>AC</i>, окружность <i>S</i>₂проходит через точки <i>A</i>и <i>C</i>и касается прямой <i>AB</i>. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника <i>ABC</i>.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>AP</i>содержит симедиану <i>AS</i>.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Опустим из точки<i>M</i>перпендикуляры<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и<i>MC</i>₁на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Для фиксированного треугольника<i>ABC</i>множество точек<i>M</i>, для которых угол Брокара треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а другая вне ее (<i>окружности Схоуте</i>).

Пусть вершины<i>B</i>и<i>C</i>треугольника фиксированы, а вершина<i>A</i>движется так, что угол Брокара$\varphi$треугольника<i>ABC</i>остается постоянным. Тогда точка<i>A</i>движется по окружности радиуса(<i>a</i>/2)$\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$, где<i>a</i>=<i>BC</i>(<i>окружность Нейберга</i>).

Докажите, что для угла Брокара$\varphi$выполняются следующие неравенства: а)$\varphi^{3}{}$$\le$($\alpha$-$\varphi$)($\beta$-$\varphi$)($\gamma$-$\varphi$); б)8$\varphi^{3}{}$$\le$$\alpha$$\beta$$\gamma$(<i>неравенство Йиффа</i>).

На сторонах <i>CA</i>,<i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что $\angle$<i>AB</i>₁<i>A</i>₁=$\angle$<i>BC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>CA</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>, причем центр поворотной...

Пусть <i>P</i>и <i>Q</i> — первая и вторая точки Брокара треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>CP</i>и <i>BQ</i>, <i>AP</i>и <i>CQ</i>, <i>BP</i>и <i>AQ</i>пересекаются в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходит через точки <i>P</i>и <i>Q</i>.

Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>; <i>R</i>₁,<i>R</i>₂и <i>R</i>₃ — радиусы описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>и <i>CAP</i>. Докажите, что <i>R</i>₁<i>R</i>₂<i>R</i>₃=<i>R</i>³, где <i>R</i> — радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>Q</i> — вторая точка Брокара треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> — центр его описанной окружности, <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>CAQ</i>,<i>ABQ</i>и <i>BCQ</i>. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>и <i>O</i> — первая точка Брокара треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^<tt>o</tt>. б) Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что один из углов <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>CAM</i>не превосходит 30^<tt>o</tt>.

а) Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>. Угол $\varphi$=$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>BCP</i>=$\angle$<i>CAP</i>называется<i>углом Брокара</i>этого треугольника. Докажите, что <i>ctg</i>$\varphi$=<i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$. б) Докажите, что точки Брокара треугольника <i>ABC</i>изогонально сопряжены. в) Касательная к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точке <i>C</i>и прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>AC</i>, пересекаются в точке <i>A</i>₁. Докажите, что угол Брокара треугольника <i>ABC</i>ра...