Задача
Окружность S1проходит через точки Aи Bи касается прямой AC, окружность S2проходит через точки Aи Cи касается прямой AB. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника ABC.
Решение
Пусть AP — общая хорда рассматриваемых окружностей, Q — точка пересечения прямых APи BC. Тогда BQ/AB= sin BAQ/sin AQBи AC/CQ= sin AQC/sin CAQ. Значит, BQ/CQ=ABsin BAP/ACsin CAP. Так как ACи AB — касательные к окружностям S1и S2, то $\angle$CAP=$\angle$ABPи $\angle$BAP=$\angle$ACP, а значит, $\angle$APB=$\angle$APC. Поэтому
$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AP}}$ . $\displaystyle {\frac{AP}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin APB}{\sin ABP}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin ACP}{\sin APC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACP}{\sin ABP}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BAP}{\sin CAP}}$.
Следовательно, BQ/CQ=AB2/AC2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет