Задача
ТочкиA1иA2,B1иB2,C1иC2лежат на сторонахBC,CA,ABтреугольникаABC. а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольникаABCс продолжениями сторон треугольникаA'B'C', полученного из треугольникаABCпри гомотетии с центром в точке ЛемуанаK, то точкиA1,B2,B1,C2,C1,A2лежат на одной окружности (окружность Тукера). б) Докажите, что если отрезкиA1B2,B1C2иC1A2равны и антипараллельны сторонамAB,BCиCA, то точкиA1,B2,B1,C2,C1,A2лежат на одной окружности.
Решение
Легко проверить, что как из условия а), так и из условия б) вытекает следующее: четырехугольникиA2B1C2C1,C2A1B2B1иB2C1A2A1являются равнобедренными трапециями. В случае а) нужно воспользоваться результатом задачи 5.125; в случае б) это очевидно. Ясно также, что серединные перпендикуляры к основаниям этих трапеций пересекаются в одной точке. Эта точка является центром искомой окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь