Задание олимпиады: окружности Схоуте и угол Брокара в треугольнике ABC
Задача
Опустим из точкиMперпендикулярыMA1,MB1иMC1на прямыеBC,CAиAB. Для фиксированного треугольникаABCмножество точекM, для которых угол Брокара треугольникаA1B1C1имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольникаABC, а другая вне ее (окружности Схоуте).
Решение
Пустьa1,b1,c1 — длины сторон треугольникаA1B1C1,S1 — его площадь. В теореме речь идет о множестве точекM, для которых выполняется равенство
4S1ctg$\displaystyle \varphi$ = a21 + b12 + c12.
ТочкиB1иC1лежат на окружности с диаметромAM, поэтому
a1 = B1C1 = AM sin B1AC1 = $\displaystyle {\frac{aAM}{2R}}$,
гдеR — радиус описанной окружности треугольникаABC. Таким образом,
a21 + b12 + c12 = $\displaystyle {\frac{a^2AM^2+b^2BM^2+c^2CM^2}{4R^2}}$.
Поэтому если (x,y) — координаты точкиMв некоторой прямоугольной
системе координат, то
a21 + b12 + c12 = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$(x2 + y2) + px + qy + r,
гдеp,q,r — постоянные числа.
ДляS1тоже можно получить выражение через координаты (x,y) точкиM.
При этом начало системы координат удобно расположить в центреOописанной
окружности треугольникаABC. В таком случае
S1 = $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$$\displaystyle \left\vert\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right.$R2 - x2 - y2$\displaystyle \left.\vphantom{R^2-x^2-y^2}\right\vert$
(задача5.102).
УравнениеS1= 0 определяет описанную окружность треугольникаABC. Это
множество соответствует нулевому углу Брокара. Углу Брокара$\varphi$соответствует множество
±ctg$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{4R^2}}$(R2 - x2 - y2) = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}}$(x2 + y2) + px + qy + r.
При этом знак плюс берется для точек внутри описанной
окружности, а знак минус берется для точек вне описанной
окружности. Легко видеть, что каждое из полученных уравнений
является уравнением окружности. Дело в том, что еслиf= 0 иg= 0 — уравнения окружностей, то$\lambda$f=g — тоже
уравнение окружности. Более того, центр окружности$\lambda$f=gлежит на прямой, соединяющей центры окружностейf= 0 иg= 0. В
нашем случае центром одной окружности служит центр описанной
окружности треугольникаABC, а центром второй окружности
служит точка, для которой величинаa2AM2+b2BM2+c2CM2минимальна (точка Лемуана).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет