Задача
Треугольник ABCвписан в окружность радиуса Rс центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки Pотносительно треугольника ABC(см. задачу5.99) равна ${\frac{1}{4}}$$\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$1 -${\frac{d^2}{R^2}}$$\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$SABC, где d=PO.
Решение
Пусть A1,B1и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки Pна прямые BC,CAи AB; A2,B2и C2 — точки пересечения прямых PA,PBи PCс описанной окружностью треугольника ABC. Пусть далее S,S1и S2 — площади треугольников ABC,A1B1C1и A2B2C2. Легко проверить, что a1=a . AP/2R(задача 5.99) и a2=a . B2P/CP. Треугольники A1B1C1и A2B2C2подобны (задача 5.100), поэтому S1/S2=k2, где k=a1/a2=AP . CP/(2R . B2P). А так как B2P . BP= |d2-R2|, то S1/S2= (AP . BP . CP)2/4R2(d2-R2)2. Треугольники A2B2C2и ABCвписаны в одну окружность, поэтому S2/S=a2b2c2/abc(см. задачу 12.1). Ясно также, что, например, a2/a=B2P/CP= |d2-R2|/(BP . CP). Следовательно, S2:S= |d2-R2|3: (AP . BP . CP)2. Поэтому S1/S= (S1/S2)(S2/S) = |d2-R2|/4R2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь