Пусть прямые FG,GEи EFпроходят через точки A,Bи C, причем треугольник EFGравносторонний, т. е.$\angle$(GE,EF) =$\angle$(EF,FG) =$\angle$(FG,GE) = ±60^o. Тогда$\angle$(BE,EC) =$\angle$(CF,FA) =$\angle$(AG,GB) = ±60^o. Выбрав один из знаков, получим три окружности S_E,S_Fи S_G, на которых должны лежать точки E,Fи G. Любая точка Eокружности S_Eоднозначно определяет треугольник EFG. Пусть O — центр треугольника EFG; P,Rи Q — точки пересечения прямых OE,OFи OGс соответствующими окружностями S_E,S_Fи S_G. Докажем, что P,Qи R — центры правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC(для одного семейства внешним образом, для другого внутренним), а точка Oлежит на описанной окружности треугольника PQR. Ясно, что $\angle$(CB,BP) =$\angle$(CE,EP) =$\angle$(EF,EO) =$\mp$30^o, a $\angle$(BP,CP) =$\angle$(BE,EC) =$\angle$(GE,EF) = ±60^o. Поэтому $\angle$(CB,CP) =$\angle$(CB,BP) +$\angle$(BP,CP) = ±30^o. Следовательно, P — центр правильного треугольника со стороной AB. Для точек Qи Rдоказательство аналогично. Треугольник PQRравносторонний, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC(см. задачу 1.49, б)). Можно проверить, что $\angle$(PR,RQ) =$\mp$60^o=$\angle$(OE,OG) =$\angle$(OP,OQ), т. е. точка Oлежит на описанной окружности треугольника PQR.

Ответ задачи отсутствует