Задача
а) На сторонеABтреугольникаABCвзята точкаP. Пустьr,r1иr2 — радиусы вписанных окружностей треугольниковABC,BCPиACP;h — высота, опущенная из вершиныC. Докажите, чтоr=r1+r2- 2r1r2/h. б) ТочкиA1,A2,A3,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольниковBAiAi + 1равны одному и тому же числуr1, то радиусы вписанных окружностей всех треугольниковBAiAi + kравны одному и тому же числуrk.
Решение
а) Пустьx1=BPиx2=AP. Тогдаr1=${\frac{x_1h}{a+p+x_1}}$,r2=${\frac{x_2h}{b+p+x_2}}$,r=${\frac{(x_1+x_2)h}{a+b+p+x_1+x_2}}$. После несложных преобразований требуемое равенство приводится к видуx2(p2+x12-a2) +x1(p2+x22-b2) = 0. Остается заметить, чтоp2+x12-a2= 2px1cos BPC,p2+x22-b2= 2px2cos APCиcos BPC= - cos APC. б) Согласно задаче а)rk + 1=r1+rk-${\frac{2r_1r_k}{h}}$, гдеh — расстояние от точкиBдо прямойA1A2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь