ПустьAA₁,BB₁,CC₁— медианы,M— точка их пересечения,A₊,B_-,C₊,A_-,B₊,C_-— центры описанных окружностей треугольниковB₁MC,CMA₁,A₁MB,BMC₁,C₁MA,AMB₁. Проекции точекB₊иB_-на прямуюAA₁являются серединами отрезковAMиMA₁. Поэтому проекция вектора$\overrightarrow{B_+B_-}$на прямуюAA₁равна${\frac{1}{2}}$$\overrightarrow{AA_1}$. Аналогично проекция этого вектора на прямуюCC₁равна${\frac{1}{2}}$$\overrightarrow{CC_1}$. Аналогичные утверждения верны и для векторов$\overrightarrow{A_+A_-}$и$\overrightarrow{C_+C_-}$. Сумма векторов$\overrightarrow{AA_1}$,$\overrightarrow{BB_1}$и$\overrightarrow{CC_1}$равна нулевому вектору (задача 13.1), поэтому существует треугольникA₂B₂C₂, для которого$\overrightarrow{AA_1}$=$\overrightarrow{B_2C_2}$,$\overrightarrow{BB_1}$=$\overrightarrow{C_2A_2}$и$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{A_2B_2}$. Для любой точкиXвектор$\overrightarrow{B_2X}$полностью определяется проекциями на прямыеB₂A₂иB₂C₂. С другой стороны, вектор$\overrightarrow{B_2O}$, гдеO— центр описанной окружности треугольникаA₂B₂C₂, имеет такие же проекции на эти прямые, как и вектор$\overrightarrow{B_+B_-}$. Следовательно, длины векторов$\overrightarrow{A_+A_-}$,$\overrightarrow{B_+B_-}$и$\overrightarrow{C_+C_-}$равны (они равны радиусу описанной окружности треугольникаA₂B₂C₂). Противоположные стороны шестиугольникаA₊B_-C₊A_-B₊C_-параллельны, а его диагоналиA₊A_-,B₊B_-иC₊C_-равны. Согласно задаче 6.55Bтакой шестиугольник вписанный.

Ответ задачи отсутствует