Задача
В остроугольном треугольнике ABCс углом A, равным 60o, высоты пересекаются в точке H. а) Пусть Mи N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BHи CHсо сторонами ABи ACсоответственно. Докажите, что точки M,Nи Hлежат на одной прямой. б) Докажите, что на той же прямой лежит центр Oописанной окружности.
Решение
а) Пусть M1и N1 — середины отрезков BHи CH, BB1и CC1 — высоты. Прямоугольные треугольники ABB1и BHC1имеют общий острый угол при вершине B, поэтому $\angle$C1HB=$\angle$A= 60o. Так как треугольник BMHравнобедренный, $\angle$BHM=$\angle$HBM= 30o. Следовательно, $\angle$C1HM= 60o- 30o= 30o=$\angle$BHM, т. е. точка Mлежит на биссектрисе угла C1HB. Аналогично точка Nлежит на биссектрисе угла B1HC. б) Воспользуемся обозначениями задачи а), и пусть, кроме того, B'и C' — середины сторон ACи AB. Так как AC1=ACcos A=AC/2, то C1C'= |AB-AC|/2. Аналогично B1B'= |AB-AC|/2, т. е. B1B'=C1C'. Следовательно, параллельные прямые BB1и B'O, CC1и C'Oобразуют не просто параллелограмм, а ромб. Поэтому его диагональ HOявляется биссектрисой угла при вершине H.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь