Назад
Задача 156898 • Сложность: 4 • 9 класс
Задача

На сторонах BC,CAи ABтреугольника ABC(или на их продолжениях) взяты точки A1,B1и C1соответственно. Докажите, что точки A1,B1и C1лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

$\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1        (теорема Менелая).

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии параграф 7. Теорема Менелая глава 5. Треугольники Книги, журналы
Количество версий:
3
Решение

Пусть при проекции на прямую, перпендикулярную прямой A1B1, точки A,Bи Cпереходят в A',B'и C', точка C1 — в Q, а две точки A1и B1 — в одну точку P. Так как$\overline{A_1B}$:$\overline{A_1C}$=$ \overline{PB'}$:$ \overline{PC'}$,$\overline{B_1C}$:$\overline{B_1A}$=$ \overline{PC'}$:$ \overline{PA'}$и$\overline{C_1A}$:$\overline{C_1B}$=$ \overline{QA'}$:$ \overline{QB'}$, то${\frac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}}$ . ${\frac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}}$ . ${\frac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}}$=$ {\frac{\overline{PB'}}{\overline{PC'}}}$ . $ {\frac{\overline{PC'}}{\overline{PA'}}}$ . $ {\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$=$ {\frac{\overline{PB'}}{\overline{PA'}}}$ . $ {\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$=$ {\frac{b'}{a'}}$ . $ {\frac{a'+x}{b'+x}}$, где |x| =PQ. Равенство $ {\frac{b'}{a'}}$ . $ {\frac{a'+x}{b'+x}}$= 1 эквивалентно тому, что x= 0 (нужно учесть, что a'$\ne$b', так как A'$\ne$B'). А равенство x= 0 означает, что P=Q, т. е. точка C1лежит на прямой A1B1.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет