Назад
Задача 156907 • Сложность: 5 • 9-11 класс
Задача

Прямые AA1,BB1,CC1пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых ABи A1B1, BCи B1C1, ACи A1C1лежат на одной прямой (Дезарг).

Решение

Первое решение:

Пусть  A2, B2, C2 — точки пересечения прямых BC и B1C1, AC и A1C1, AB и A1B1. Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и точкам на их сторонах: OAB и  (A1, B1, C2), OBC и  (B1, C1, A2), OAC и  (A1, C1, B2). Тогда

$\displaystyle {\frac{\overline{AA_1}}{\overline{OA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{OB_1}}{\overline{BB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{BC_2}}{\overline{AC_2}}}$ = 1,    $\displaystyle {\frac{\overline{OC_1}}{\overline{CC_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{BB_1}}{\overline{OB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CA_2}}{\overline{BA_2}}}$ = 1,    $\displaystyle {\frac{\overline{OA_1}}{\overline{AA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CC_1}}{\overline{OC_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AB_2}}{\overline{CB_2}}}$ = 1.
Перемножая эти равенства, получаем
$\displaystyle {\frac{\overline{BC_2}}{\overline{AC_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AB_2}}{\overline{CB_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CA_2}}{\overline{BA_2}}}$ = 1.
Из теоремы Менелая следует, что точки A2,B2,C2лежат на одной прямой. Второе решение:

Сделаем проективное преобразование с исключительной прямой AB. Образы точек при этом преобразовании будем обозначать буквами со штрихом. Рассмотрим гомотетию с центром в точке O' (или параллельный перенос, если O' — бесконечно удаленная точка), переводящую точку C1' в C2'. При этой гомотетии отрезок B1'C1' перейдет в отрезок B2'C2', поскольку B1'C1'| B2'C2'. Аналогично C1'A1' перейдет в C2'A2'. Поэтому соответственные стороны треугольников A1'B1'C1' и  A2'B2'C2' параллельны, т. е. все три точки A', B', C' лежат на бесконечно удаленной прямой.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет