Задача
а) На сторонах BC,CAи ABравнобедренного треугольника ABCс основанием ABвзяты точки A1,B1и C1так, что прямые AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке. Докажите, что
$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.
б) Внутри равнобедренного треугольника ABCс основанием ABвзяты
точки Mи Nтак, что $\angle$CAM=$\angle$ABNи $\angle$CBM=$\angle$BAN. Докажите, что точки C,Mи Nлежат на
одной прямой.
Решение
а) По теореме Чевы ${\frac{AC_1}{C_1B}}$=${\frac{CA_1}{A_1B}}$ . ${\frac{AB_1}{B_1C}}$, а по теореме синусов
| CA1 | = $\displaystyle {\frac{CA\sin CAA_1}{\sin AA_1B}}$, | A1B | = $\displaystyle {\frac{AB\sin BAA_1}{\sin AA_1B}}$, | |
| AB1 | = $\displaystyle {\frac{AB\sin ABB_1}{\sin AB_1B}}$, | B1C | = $\displaystyle {\frac{BC\sin CBB_1}{\sin AB_1B}}$. |
Подставляя эти четыре равенства в предыдущее равенство и учитывая, что AC=BC, получаем требуемое. б) Обозначим точки пересечения прямых CMи CNс основанием ABчерез M1и N1. Нужно доказать, что M1=N1. Из а) следует, что AM1:M1B=AN1:N1B, т. е. M1=N1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет