Задача
В треугольнике ABCпроведены биссектрисы AA1,BB1и CC1. Биссектрисы AA1и CC1пересекают отрезки C1B1и B1A1в точках Mи N. Докажите, что $\angle$MBB1=$\angle$NBB1.
Решение
Пусть отрезки BMи BNпересекают сторону ACв точках Pи Q. Тогда
$\displaystyle {\frac{\sin PBB_1}{\sin PBA}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin PBB_1}{\sin BPB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{\sin APB}{\sin PBA}}$ = $\displaystyle {\frac{PB_1}{BB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{AB}{PA}}$.
Если O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то ${\frac{AP}{PB_1}}$ . ${\frac{B_1O}{OB}}$ . ${\frac{BC_1}{C_1A}}$= 1,
а значит, ${\frac{\sin
PBB_1}{\sin PBA}}$=${\frac{AB}{BB_1}}$ . ${\frac{B_1O}{OB}}$ . ${\frac{BC_1}{C_1A}}$.
Заметив, что BC1:C1A=BC:CA, и проведя аналогичные
вычисления для sin QBB1: sin QBC, получим sin PBB1: sin PBA= sin QBB1: sin QBC.
А так как $\angle$ABB1=$\angle$CBB1, то $\angle$PBB1=$\angle$QBB1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет