Задача
а) Докажите, что внутри треугольника ABCсуществует такая точка P, что $\angle$ABP=$\angle$CAP=$\angle$BCP. б) На сторонах треугольника ABCвнешним образом построены подобные ему треугольники CA1B,CAB1и C1AB(углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
Решение
Решим сразу задачу б). Докажем сначала, что прямые AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке. Пусть описанные окружности треугольников A1BCи AB1Cпересекаются в точке O. Тогда$\angle$(BO,OA) =$\angle$(BO,OC) +$\angle$(OC,OA) =$\angle$(BA1,A1C) +$\angle$(CB1,B1A) =$\angle$(BA,AC1) +$\angle$(C1B,BA) =$\angle$(C1B,AC1), т. е. описанная окружность треугольника ABC1тоже проходит через точку O. Поэтому$\angle$(AO,OA1) =$\angle$(AO,OB) +$\angle$(BO,OA1) =$\angle$(AC1,C1B) +$\angle$(BC,CA1) = 0o, т. е. прямая AA1проходит через точку O. Аналогично доказывается, что прямые BB1и CC1проходят через точку O. Докажем теперь, что точка Oсовпадает с искомой точкой P. Так как $\angle$BAP=$\angle$A-$\angle$CAP, то равенство $\angle$ABP=$\angle$CAPэквивалентно равенству $\angle$BAP+$\angle$ABP=$\angle$A, т. е. $\angle$APB=$\angle$B+$\angle$C. Для точки Oпоследнее равенство очевидно, так как она лежит на описанной окружности треугольника ABC1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь