Задача
Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках Pи Q, а его диагонали пересекаются в точке S. а) Расстояния от точек P,Qи Sдо точки Oравны p,qи s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS. б) Докажите, что высоты треугольника PQSпересекаются в точке O.
Решение
а) Пусть лучи ABи DCпересекаются в точке P, а лучи BCи AD — в точке Q. Докажем, что точка M, в которой пересекаются описанные окружности треугольников CBPи CDQ, лежит на отрезке PQ. В самом деле, $\angle$CMP+$\angle$CMQ=$\angle$ABC+$\angle$ADC= 180o. Поэтому PM+QM=PQ, а так как PM . PQ=PD . PC=p2-R2и QM . PQ=QD . QA=q2-R2, то PQ2=PM . PQ+QM . PQ=p2+q2- 2R2. Пусть N — точка пересечения описанных окружностей треугольников ACPи ABS. Докажем, что точка Sлежит на отрезке PN. В самом деле, $\angle$ANP=$\angle$ACP= 180o-$\angle$ACD= 180o-$\angle$ABD=$\angle$ANS. Поэтому PN-SN=PS, а так как PN . PS=PA . PB=p2-R2и SN . PS=SA . SC=R2-s2, то PS2=PN . PS-SN . PS=p2+s2- 2R2. Аналогично QS2=q2+s2- 2R2. б) Согласно задаче а) PQ2-PS2=q2-s2=OQ2-OS2. Следовательно, OP$\perp$QS(см. задачу 7.6). Аналогично доказывается, что OQ$\perp$PSи OS$\perp$PQ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь