Задача
а) Внутри треугольника ABCрасположен отрезок MN. Докажите, что длина MNне превосходит наибольшей стороны треугольника. б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок MN. Докажите, что длина MNне превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.
Решение
Будем проводить доказательство сразу для общего случая. Пусть прямая MNпересекает стороны многоугольника в точках M1и N1. Ясно, что MN$\leq$M1N1. Пусть точка M1лежит на стороне AB, а точка N1 — на PQ. Так как $\angle$AM1N1+$\angle$BM1N1= 180o, то один из этих углов не меньше 90o. Пусть для определенности $\angle$AM1N1$\geq$90o. Тогда AN1$\geq$M1N1, так как против большего угла лежит большая сторона. Аналогично доказывается, что либо AN1$\leq$AP, либо AN1$\leq$AQ. Следовательно, длина отрезка MNне превосходит длины отрезка с концами в вершинах многоугольника.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь