Олимпиадные задачи из источника «параграф 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны»
параграф 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
НазадДаны треугольник <i>ABC</i>со сторонами <i>a</i>><i>b</i>><i>c</i>и произвольная точка <i>O</i>внутри его. Пусть прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>,<i>CO</i>пересекают стороны треугольника в точках <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>. Докажите, что <i>OP</i>+<i>OQ</i>+<i>OR</i><<i>a</i>.
Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.
В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. В области, ограниченной отрезками <i>AB, AC</i> и меньшей дугой <i>BC</i>, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает <i>AB</i>.
Внутри сектора <i>AOB</i>круга радиуса <i>R</i>=<i>AO</i>=<i>BO</i>лежит отрезок <i>MN</i>. Докажите, что <i>MN</i>$\leq$<i>R</i>или <i>MN</i>$\leq$<i>AB</i>. (Предполагается, что $\angle$<i>AOB</i>< 180<sup><tt>o</tt></sup>.)
а) Внутри треугольника <i>ABC</i>расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны треугольника. б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.